兄弟，你的描述不够清楚，
按我的理解，你想说的是：
过两个交点分别作坐标轴垂线，两组交点、垂足、原点所构成的两个三角形，其面积相等。
其实很好证明，
不妨设双曲线上的任意一点P坐标为：P(Px,Py)，过P做x轴或者y轴的垂线，垂足（与坐标轴的交点）为D，
不难看出三角形POD的面积S=1/2*底*高=|Px|*|Py|/2=PxPy/2，
任何一次函数与双曲线的交点都不例外，
并且即使两个交点不再同一象限内，上面结论依然成立。
而由双曲线的方程可知，xy=K，PxPy恒等于定值P。
不知道能否解开你的猜想~
反比例函数对称性，其他性质
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