设曲线弧L为x^2+y^2=ax(a＞0)从点A(a，0)到点O(0，0)的上半圆弧，求∫(e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy

∫下面有个L，e^xsiny是e^x乘以siny

2025-08-31 21:57:22

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回答1：

补L1：y=0，x：0→a
则L+L1为封闭曲线
∮(L+L1) (e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy
用格林公式
=∫∫ (e^xcosy-e^xcosy+a) dxdy 积分区域D为半圆
=a∫∫ 1 dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积，面积为：(1/2)π(a/2)²=πa²/8
=πa³/8

然后计算补的那条线上的积分：
∫L1 (e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy
=∫[0→a] a dx
=a²

本题结果为：πa³/8-a²

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