解：（1）连结OM，
∵AB=AC，E是BC中点，
∴BC⊥AE，
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBC，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
∴OM⊥AE，
∴AM是⊙O的切线；
（2）∵E是BC中点，
∴BE=
BC=3，1 2
∵OB：OA=1：2，OB=OM，
∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，
∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴
=OM BE
=OA AB
，1 3
∴OM=2，
∴AM=
=2
OA2?OM2
，
3
∴S阴影=
×21 2
×2-
3
=260π×22 360
-
3
π．2 3
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