求证(1+1⼀n)∧n<e<(1+1⼀n)∧（n+1）

设数列a(n) = (1+1/n)^n ，数列b(n) = (1+1/n)^(n+1)
由于lim(x-->+oo)(1+1/x)^x = e 得：
lim(n-->+oo)a(n) = e； lim(n-->+oo)b(n) = lim(n-->+oo)a(n) * lim(n-->+oo)(1+1/n) = e.
因此只需证数列a(n)单调递增且数列b(n)单调递减
<1>证明数列a(n)单调递增：
a(n) = (1+1/n)^n = (1+1/n) * (1+1/n) * … * (1+1/n) * 1 (n+1个因子相乘，运用不等式)
< ( ((1+1/n) + (1+1/n) + … + (1+1/n) + 1) / (n+1) )^(n+1)
= ( (n+2) / (n+1) )^(n+1)
= ( 1 + 1/(n+1) )^(n+1)
= a(n+1)
即a(n) < a(n+1) ，从而数列a(n) 单调递增
<2>证明数列b(n)单调递减：
b(n) = (1+1/n)^(n+1) = 1 / ( n/(n+1) )^(n+1)
= 1 / ( 1-1/(n+1) )^(n+1) ( 令 t = - (n+1) ，换元 )
= (1+1/t)^t
= a(t)
由<1>得a(t)关于t单调递增，而t = - (n+1)关于n单调递减，由复合函数的单调性知，
b(n)单调递减。
由<1><2>,得证！

y = (1+1/n)^n
取对数得lny = n* ln(1+1/n)
所以只需要证明ln(1+1/n) < 1/n
可以用2种方法
(1)构造函数f(x) = ln(1+1/n) - 1/n 求f(x)的最大值即可
(2)对ln(1+1/n) 采用泰勒展开,将第2项与第三项结合,第四项与第五项结合......可以看到后面的每一项都是小于0的
同理可以证明e<(1+1/n)∧（n+1）