求由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏)一拱的长度

摆线的参数方程是x=a(t-sint),y=a(1-cost)

参数方程的弧微分公式是ds=√((dx)^2+(dy)^2)

代入得ds=a√(2-2cost)dt,又cos2θ=1-2sinθ

所以ds=a√(4sint/2)dt,s=∫[0,2π]2asint/2dt=4a

方程式

x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。

由题意计算得由摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost）的一拱为3πa^2。

计算过程如下：

S=∫√（1+y'*y'）dx

=∫√[1+（（1+sint）/1-cost）]dx

又因为x=a（t-sint）所以求得dx=a（1-cost）dt，得出S:

S=∫（0，2π） a^2（1-cost）²dt

=a^2∫（0，2π） (1-cost)²dt

=a^2[∫（0，2π）1dt-∫（0，2π） 2costdt+∫（0，2π） cost²dt]

=a^2（2π-2*0+2*（π/2））

=3πa^2

扩展资料：

摆线的方程

x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

基本的积分公式

∫0dx=c 

∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

∫1/xdx=ln|x|+c

∫a^xdx=(a^x)/lna+c

∫e^xdx=e^x+c

∫sinxdx=-cosx+c

∫cosxdx=sinx+c

参考资料来源：百度百科-积分公式

参考资料来源：百度百科-摆线

s＝∫0→2π√［a(1-cost)］²+(asint)²dt＝a∫0→2π√2(1-cost)dt＝a∫0→2π√2［1-(1-2sin²t/2)］dt＝4a∫0→2πsint/2dt/2＝8a

r=a

所以，答案是8a