如何证明:三角形周长一定,当三角形为等边三角形时,面积最大

证明：

设三角形ABC三个角分别是A,B,C，分别对应边a,b,c.周长为L则a+b+c=L

由正弦定理得三角形外接圆半径为R=c/sinC

所以面积 S= absinC/2 = abc/2R

由
abc<=[(a+b+c)/3] 立方

（这个公理不知道你知道不？跟ab<=[(a+b)/2]平方一 个道理，展开就能证明了）

得 abc<= (L/3)立方

可以看出abc的最大值是当a=b=c时，三角形是正三角形

证毕

S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c), S 是面积，p 是二分之一周长。

p 一定，则要求 (p-a)(p-b)(p-c) 的最大值， 且三数和为 p .
于是问题变成 ： x + y + z = p , 求 xyz 的最大值。
关于这个问题，利用拉格朗日待定乘子法，可以证明当 x=y=z 时，积取最大值。对应于 等边三角形。

三角形三边分别为a,b,c
设c为底边
当a=b=c时h=c/2
所以S=1/2*h*c=(c*h)/2
当a,b,c不相等时h所以S'(c*h)/2
当底边一定时
等边三角形的高最大
所以
周长一定时等边三角形面积最大

证明：
设三角形ABC三个角分别是A,B,C，分别对应边a,b,c.周长为L则a+b+c=L
由正弦定理得三角形外接圆半径为R=c/sinC
所以面积
S=
absinC/2
=
abc/2R
由
abc<=[(a+b+c)/3]
立方
（这个公理不知道你知道不？跟ab<=[(a+b)/2]平方一
个道理，展开就能证明了）
得
abc<=
(L/3)立方
可以看出abc的最大值是当a=b=c时，三角形是正三角形
证毕

当底边相等的时候，高越长则面积越大。现在的高其实在等边三角形的最大。所以等边三角形的面积最大。